Archivo de 10 septiembre 2009

(9) – Incesto consentido

 

No desarmaré los Cielos,

yo, el no amado,

que el firmamento fue cuajado

en centurias

y macerando prorrumpió del vientre

y aquí refulgen ubicuos

los astros que me acarician.

No clausuraré los frutos,

que de la amargura devienen,

tardos en las jornadas se sazonan

y en la añada endulzan

mis fauces hambrientas.

Ya que el amor cierto

no es hemorragia aguda sino

llanto incubado,

no es víbora sino lenta rosa,

que sutilmente se abre,

no es cópula de criaturas

sino caricia trémula.

El amor, el amor indubitable,

no es decir ahora y recibir el agasajo,

es más bien seguir callado

como herrerillo en escaramuza,

indultando cada ápice.

Dejadme en mi dulce agonía, bastardos,

indignos de vuestra Madre,

observadla en su lento cariño

de eones.

Porque llegará el día

en que más dulce trinará la alondra

en mis oídos,

y la brisa mecerá mis cabellos

como aya y niño de pecho,

y quizás las flores exhalen

un perfume reservado en los siglos,

o tal vez los mares irrumpan

en el talud con el ritmo

de una marcha nupcial,

y así la Madre nos festeje,

y apruebe un amor consentido,

un incesto a voz en grito

otorgado con su silencio.

  

 

© El rostro sagrado, SergeantAlaric, 2012.

 

Investigaciones, de Stuart Kauffman

 

 

He leído hace unos años un libro de un profesor emérito de biología americano llamado Stuart Kaufman, cuya lectura me resultó muy interesante y amena. El libro se titula “Investigaciones”, y en él se buscan las condiciones elementales para la vida en cualquier mundo. La conclusión a la que llega es que para que un organismo sea un agente autónomo, esto es, un ser con capacidad para adaptarse al medio y utilizarlo en su propio beneficio, debe ser un compuesto molecular autocatalítico en el que se produzca al menos un ciclo termodinámico. Autocatalítico en el sentido de que debe estar en contacto con enzimas (o catalizadores) que permitan el ensamblado de la molécula viva según las reacciones químicas pertinentes y su autoreplicancia -reproducción-, reduciendo la barrera de potencial que separa reactivos y complejo activado. En realidad esas enzimas, en las formas vivas que conocemos, van ligadas a la molécula en sí. Por eso decimos que se autocatalizan. Sin embargo, S. Kauffman da un paso más, y dice por ejemplo que probablemente podría ser posible que algunas moléculas cooperativamente se catalizasen, una parte de A ayudaría a catalizarse B y una parte de B ayudará a catalizarse A, dando lugar a más moléculas A y B. El hecho es que incluso podría ser que, a partir de una sopa de moléculas inicial de muchos tipos éstas se fueran uniendo, de forma que cuando la relación moléculas/conexiones fuese en torno a 2, emergerían de la sopa moléculas muy grandes con posibilidad de catalizarse a sí mismas.

Por lo visto, hasta el momento se han conseguido moléculas que se catalizan y dan lugar a otras moléculas que las contienen, pero todavía no se ha logrado que ejecuten algún ciclo termodinámico. Y no tendrían por qué ser únicamente las moléculas orgánicas -basadas en el Carbono-, las presentes en otras formas vivas.

En el libro “¿qué es la vida?”, de Schröedinger, se planteó una intuición brillantísima en torno a los ladrillos de los que estamos construidos -del ADN que forma las proteínas-. Resulta que Schroëdinger, unos 20 años antes del descubrimiento de Watson y Crick, razonó que nuestras moléculas constituyentes no podrían ser sólidos o cristales regulares, porque la información que contienen está contenida en uno de los ciclos que se repiten, y es por tanto poca. Razonó que serían cristales aperiódicos. Y acertó. Se adelantó al descubrimiento de la doble hélice dextrógira a base de nucleótidos adenina, timina, guanina y citosina.

Al final resulta -según Kauffman- que hay un gran paralelismo entre el segundo principio de la termodinámica y la evolución natural. El segundo principio de la termodinámica establece que la entropía nunca disminuye, esto es, las moléculas chocan entre sí y las que van más rápido se frenan con las otras y las más lentas adquieren velocidad, hacia una situación por tanto de equilibrio térmico, con una gran cantidad de “información térmica” acumulada en el conjunto de todas las moléculas. La evolución natural, siguiendo los procesos de recombinación, mutación y selección natural da lugar por su parte a especies con cada vez más información condensada en su ristra de ADN. Hay cierto paralelismo entre ambas situaciones.

Una de las conclusiones de la biología de Kauffman es que la selección natural por sí misma no explica el fenómeno natural. Es la teoría de la complejidad coadyuvando con la selección natural la que, en virtud a la mera espontaneidad del azar, explica las formas naturales emergentes. Es como si del caos apareciera el orden.

Para los interesados en complejidad, matemáticas y biología, les propongo el libro “investigaciones”, de Stuart Kauffman, Metatemas, Tusquets Editores.

 

La recurrencia, las matemáticas y la ingeniería

 

Para muchos de nosotros es conocido el teorema de punto fijo en alguna de sus versiones -yo por ejemplo conozco la versión de Brower-, y la técnica de resolucion de problemas empleando recurrencia, que suele ser aplicable cuando la función cuyo pto. fijo queremos determinar es Liptchisziana (creo que se escribe así). Se trata de ir calculando las imágenes de los puntos que vamos obteniendo como imagen por la función, a partir de un valor inicial; de forma que en virtud de ser contractiva distan entre sí menos que los puntos que sirvieron de origen para el cálculo entre dos cómputos consecutivos, por lo que nos vamos aproximando al tender el número de iteraciones a infinito al punto fijo de la función.

La resolución de un problema de punto fijo no es más que un caso más general de la resolución de un problema de autovalores y vectores propios. En este tipo de problemas una aplicación lineal actuando sobre determinados vectores nos devuelve algo así como réplicas de sí mismos (en realidad nos devuelve versiones escaladas de ellos).

Otro caso particular de problema de punto fijo es aquél en que un operador funcional actúa sobre una función obteniéndose una versión escalada de esa función, que viene a ser una autofunción, caso similar a un problema de vectores y valores propios.

Es realmente curioso que este tipo de problemas aparezcan con frecuencia en la física y en la ingeniería.

Por ejemplo, una antena dipolo en solitario radia un determinado campo electromagnético. Para calcular el campo radiado es preciso conocer la distribución de corrientes en el dipolo, pero esta distribución es función a su vez de la geometría y del campo radiado, con lo cual entramos en un problema de recurrencia -esto está expresado de forma cualitativa-. Lo que tenemos en este caso es, para el campo radiado solución, a grandes rasgos y siempre desde una perspectiva cualitativa :

Campo radiado = Función1 ( Función2 ( Campo radiado )).

Otro caso similar lo constituye el cálculo de una estructura. Para empezar se parte de una geometría sencilla y se calculan las reacciones que actúan sobre ella imponiendo equilibrio estático, pero estas reacciones dependen de la geometría y a su vez la geometría solución para la estructura a calcular es función de esas reacciones, por lo que tenemos, para la estructura solución, cualitativamente :

Geometría = Función1 ( Función2 ( Geometría))

Hay muchos más casos. Por ejemplo, la ecuación de Schröedinger determina que los niveles de energía son los valores propios de un problema de “autovalores” en el cual el operador funcional Hamiltoniano actúa sobre la función de onda y ésta es un autovector en tal problema. Otro caso similar es el de la ecuación de Dirac, en la que también hay un problema de autovalores, o si queremos de punto fijo, en el cual la función es un operador funcional.

¿Más casos?. Muchos más. Por ejemplo, la ecuación de onda electromagnética en la cual el operador laplaciano actúa sobre el fasor de campo eléctrico solución, siendo este autofunción con valor propio el cuadrado de la constante de propagación de la onda. Por supuesto, en este caso, que viene a decir que el campo es mayor allí donde más rápido varía, la autofunción solución es una exponencial compleja en la variable dimensión de propagación, puesto que las exponenciales son autofunciones para operadores que diferencian.

En el mundo de la programación informática también es utilizada la recurrencia, denominada recursividad, en la cual para hallar un resultado se llama a una función en la cual se hacen llamadas a sí misma, con una condición de salida para retornar a la línea de llamada inicial.

Etcétera, etcétera, ….

En definitiva, el universo está plagado de situaciones que se resuelven mediante técnicas de recurrencia. Lo curioso de esta técnica es que es muy útil para el cálculo en la física y en la ingeniería. ¿Por qué la recurrencia se presta tan bien para resolver problemas, o al menos, por qué parece tan omnipresente?. Personalmente creo que esto se debe  a que las soluciones de los problemas que son “analíticas” (desarrollables en serie de Taylor) se suelen escribir según los desarrollos polinómicos de bajo grado. Para orden 1 la derivada de la solución es constante. Para orden 2, la derivada de la solución es lineal en función de la solución, y para órdenes superiores siempre encontramos dependencia según potencias superiores a 1, que para valores pequeños de la variable se pueden despreciar, de modo que la dependencia principal es la lineal. De ahí viene el hecho de que tantos fenómenos de la naturaleza puedan ser modelados según una ecuación recurrente. Pero una cosa es el modelado y otra cosa es la realidad. Aproximando por una ecuación diferencial lineal estamos abstrayendo información del problema, es algo que no podemos evitar.

 

Integración por el método de las palancas y Arquímedes de Siracusa

 

arquimedes

 

En torno a este personaje existen muchas y variadas leyendas, como aquélla relativa a su descubrimiento del principio de la hidrostática (cuando salió por la calle desnudo y gritando “Eureka!”, procedente de su bañera -la cual según parece no debía visitar mucho ya que mientras estaba metido en ella dibujaba y hacía cálculos en su barriga-, y halló un medio de discernir si la corona que habían fabricado para el rey era sólo de oro o tenía también plata.

También es conocido el temor que infundían sus métodos en el enemigo, en concreto al parecer ya en aquel tiempo se le ocurrió utilizar espejos parabólicos para incendiar las velas de las naves enemigas, concentrando en un espacio reducido una gran cantidad de radiación. Además, mediante el uso de polipastos alzaba en el aire los barcos enemigos cuando éstos se aproximaban al puerto. Un polipasto es un sistema compuesto por dos grupos de varias poleas concéntricas, que reduce la fuerza necesaria para levantar un peso en (1/(2*número de poleas concéntricas)), teniendo que desplazarse una cantidad de cuerda igual a la que habría que desplazar en una polea sencilla multiplicada por (2*número de poleas concéntricas). Por lo tanto se satisface como era de esperar la ley de la conservación de la energía. Y se consigue vencer un gran peso, aplicando poca fuerza, a costa de desplazar mucha cuerda. Los polipastos fueron otra idea original del genial Arquímedes.

Pero bueno, al margen de las mencionadas invenciones, los hechos narrados sólo son leyendas. En cualquier caso, es innegable el genio de este geómetra, que se formó en la Biblioteca de Alejandría.

He mencionado ya los espejos parabólicos, los polipastos, el principio de la hidrostática… Pero es que esto no fue todo… Además, dio una buena aproximación para el número pi, diseñó el tornillo de arquímedes (un tornillo sin fin para subir agua entre dos alturas distintas), descubrió el principio de la palanca (“dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”), y desarrolló para mí su más bella invención: el cálculo de áreas y volúmenes mediante métodos mecánicos. Es el procedimiento de cálculo más ingenioso que he visto.

Arquímedes colocaba dos figuras superpuestas, una de volumen/área conocido (según lo que quisiese calcular), y la otra de volumen/área desconocido, por ejemplo un cilindro y un cono. Además suponía una densidad volumétrica de masa constante para las dos figuras. A partir de la relación entre los contornos de las dos figuras, hallada mediante las ecuaciones que las describen, calculaba geométricamente para una posición genérica en ambas figuras superpuestas la relación entre el peso de una lámina de la figura conocida y una lámina de la figura desconocida, que además son proporcionales a lo que contribuyen en área o en volumen en la figura respectiva. A continuación creaba a partir del punto por donde pasa ese “elemento de volumen o de área” una palanca con fulcro a la izquierda de las  figuras, de tal modo que el peso de la lámina de la figura desconocida por su brazo fuese igual al peso de la lámina conocida por su brazo, teniendo en cuenta la relación antes calculada. Es decir, el método de Arquímedes se basaba en el desplazamiento de todas las láminas (operando para una lámina genérica) de la figura conocida al brazo izquierdo de la palanca. Cuando esta operación estaba concluida tenía dos figuras en una palanca equilibrada, a la izquierda la figura de volumen (proporcional al peso), o área (proporcional al peso) conocidos, y a la derecha la figura de volumen o área desconocido. De tal forma que el peso de la figura desconocida se puede calcular como el de la conocida multiplicado por la razón entre el brazo izquierdo y el brazo derecho (medidos desde el fulcro hasta los centros de gravedad de las dos figuras). En definitiva, como el área o e el volumen son proporcionales al peso, se podía hallar lo buscado, esto es, la relación entre el área o el volumen de las dos figuras, siendo el de la conocida conocido.

Como a Arquímedes este método no le parecía muy formal,  primero lo usaba para determinar los volúmenes o áreas y después obtenía las demostraciones formales mediante reducción al absurdo. Por ello, se cree que mantuvo el método en secreto, y de hecho sólo se supo de su existencia cuando se descubrió un ejemplo de su empleo en un palimpsesto que cubría con las oraciones de un devocionario los cálculos originales de Arquímedes, mucho después de la época de este genio del mundo antiguo.

En pocas palabras, Arquímedes comparaba el peso de dos figuras colocándolas en una balanza. Realmente ingenioso.