Integración por el método de las palancas y Arquímedes de Siracusa

 

arquimedes

 

En torno a este personaje existen muchas y variadas leyendas, como aquélla relativa a su descubrimiento del principio de la hidrostática (cuando salió por la calle desnudo y gritando “Eureka!”, procedente de su bañera -la cual según parece no debía visitar mucho ya que mientras estaba metido en ella dibujaba y hacía cálculos en su barriga-, y halló un medio de discernir si la corona que habían fabricado para el rey era sólo de oro o tenía también plata.

También es conocido el temor que infundían sus métodos en el enemigo, en concreto al parecer ya en aquel tiempo se le ocurrió utilizar espejos parabólicos para incendiar las velas de las naves enemigas, concentrando en un espacio reducido una gran cantidad de radiación. Además, mediante el uso de polipastos alzaba en el aire los barcos enemigos cuando éstos se aproximaban al puerto. Un polipasto es un sistema compuesto por dos grupos de varias poleas concéntricas, que reduce la fuerza necesaria para levantar un peso en (1/(2*número de poleas concéntricas)), teniendo que desplazarse una cantidad de cuerda igual a la que habría que desplazar en una polea sencilla multiplicada por (2*número de poleas concéntricas). Por lo tanto se satisface como era de esperar la ley de la conservación de la energía. Y se consigue vencer un gran peso, aplicando poca fuerza, a costa de desplazar mucha cuerda. Los polipastos fueron otra idea original del genial Arquímedes.

Pero bueno, al margen de las mencionadas invenciones, los hechos narrados sólo son leyendas. En cualquier caso, es innegable el genio de este geómetra, que se formó en la Biblioteca de Alejandría.

He mencionado ya los espejos parabólicos, los polipastos, el principio de la hidrostática… Pero es que esto no fue todo… Además, dio una buena aproximación para el número pi, diseñó el tornillo de arquímedes (un tornillo sin fin para subir agua entre dos alturas distintas), descubrió el principio de la palanca (“dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”), y desarrolló para mí su más bella invención: el cálculo de áreas y volúmenes mediante métodos mecánicos. Es el procedimiento de cálculo más ingenioso que he visto.

Arquímedes colocaba dos figuras superpuestas, una de volumen/área conocido (según lo que quisiese calcular), y la otra de volumen/área desconocido, por ejemplo un cilindro y un cono. Además suponía una densidad volumétrica de masa constante para las dos figuras. A partir de la relación entre los contornos de las dos figuras, hallada mediante las ecuaciones que las describen, calculaba geométricamente para una posición genérica en ambas figuras superpuestas la relación entre el peso de una lámina de la figura conocida y una lámina de la figura desconocida, que además son proporcionales a lo que contribuyen en área o en volumen en la figura respectiva. A continuación creaba a partir del punto por donde pasa ese “elemento de volumen o de área” una palanca con fulcro a la izquierda de las  figuras, de tal modo que el peso de la lámina de la figura desconocida por su brazo fuese igual al peso de la lámina conocida por su brazo, teniendo en cuenta la relación antes calculada. Es decir, el método de Arquímedes se basaba en el desplazamiento de todas las láminas (operando para una lámina genérica) de la figura conocida al brazo izquierdo de la palanca. Cuando esta operación estaba concluida tenía dos figuras en una palanca equilibrada, a la izquierda la figura de volumen (proporcional al peso), o área (proporcional al peso) conocidos, y a la derecha la figura de volumen o área desconocido. De tal forma que el peso de la figura desconocida se puede calcular como el de la conocida multiplicado por la razón entre el brazo izquierdo y el brazo derecho (medidos desde el fulcro hasta los centros de gravedad de las dos figuras). En definitiva, como el área o e el volumen son proporcionales al peso, se podía hallar lo buscado, esto es, la relación entre el área o el volumen de las dos figuras, siendo el de la conocida conocido.

Como a Arquímedes este método no le parecía muy formal,  primero lo usaba para determinar los volúmenes o áreas y después obtenía las demostraciones formales mediante reducción al absurdo. Por ello, se cree que mantuvo el método en secreto, y de hecho sólo se supo de su existencia cuando se descubrió un ejemplo de su empleo en un palimpsesto que cubría con las oraciones de un devocionario los cálculos originales de Arquímedes, mucho después de la época de este genio del mundo antiguo.

En pocas palabras, Arquímedes comparaba el peso de dos figuras colocándolas en una balanza. Realmente ingenioso.

 

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