La recurrencia, las matemáticas y la ingeniería

 

Para muchos de nosotros es conocido el teorema de punto fijo en alguna de sus versiones -yo por ejemplo conozco la versión de Brower-, y la técnica de resolucion de problemas empleando recurrencia, que suele ser aplicable cuando la función cuyo pto. fijo queremos determinar es Liptchisziana (creo que se escribe así). Se trata de ir calculando las imágenes de los puntos que vamos obteniendo como imagen por la función, a partir de un valor inicial; de forma que en virtud de ser contractiva distan entre sí menos que los puntos que sirvieron de origen para el cálculo entre dos cómputos consecutivos, por lo que nos vamos aproximando al tender el número de iteraciones a infinito al punto fijo de la función.

La resolución de un problema de punto fijo no es más que un caso más general de la resolución de un problema de autovalores y vectores propios. En este tipo de problemas una aplicación lineal actuando sobre determinados vectores nos devuelve algo así como réplicas de sí mismos (en realidad nos devuelve versiones escaladas de ellos).

Otro caso particular de problema de punto fijo es aquél en que un operador funcional actúa sobre una función obteniéndose una versión escalada de esa función, que viene a ser una autofunción, caso similar a un problema de vectores y valores propios.

Es realmente curioso que este tipo de problemas aparezcan con frecuencia en la física y en la ingeniería.

Por ejemplo, una antena dipolo en solitario radia un determinado campo electromagnético. Para calcular el campo radiado es preciso conocer la distribución de corrientes en el dipolo, pero esta distribución es función a su vez de la geometría y del campo radiado, con lo cual entramos en un problema de recurrencia -esto está expresado de forma cualitativa-. Lo que tenemos en este caso es, para el campo radiado solución, a grandes rasgos y siempre desde una perspectiva cualitativa :

Campo radiado = Función1 ( Función2 ( Campo radiado )).

Otro caso similar lo constituye el cálculo de una estructura. Para empezar se parte de una geometría sencilla y se calculan las reacciones que actúan sobre ella imponiendo equilibrio estático, pero estas reacciones dependen de la geometría y a su vez la geometría solución para la estructura a calcular es función de esas reacciones, por lo que tenemos, para la estructura solución, cualitativamente :

Geometría = Función1 ( Función2 ( Geometría))

Hay muchos más casos. Por ejemplo, la ecuación de Schröedinger determina que los niveles de energía son los valores propios de un problema de “autovalores” en el cual el operador funcional Hamiltoniano actúa sobre la función de onda y ésta es un autovector en tal problema. Otro caso similar es el de la ecuación de Dirac, en la que también hay un problema de autovalores, o si queremos de punto fijo, en el cual la función es un operador funcional.

¿Más casos?. Muchos más. Por ejemplo, la ecuación de onda electromagnética en la cual el operador laplaciano actúa sobre el fasor de campo eléctrico solución, siendo este autofunción con valor propio el cuadrado de la constante de propagación de la onda. Por supuesto, en este caso, que viene a decir que el campo es mayor allí donde más rápido varía, la autofunción solución es una exponencial compleja en la variable dimensión de propagación, puesto que las exponenciales son autofunciones para operadores que diferencian.

En el mundo de la programación informática también es utilizada la recurrencia, denominada recursividad, en la cual para hallar un resultado se llama a una función en la cual se hacen llamadas a sí misma, con una condición de salida para retornar a la línea de llamada inicial.

Etcétera, etcétera, ….

En definitiva, el universo está plagado de situaciones que se resuelven mediante técnicas de recurrencia. Lo curioso de esta técnica es que es muy útil para el cálculo en la física y en la ingeniería. ¿Por qué la recurrencia se presta tan bien para resolver problemas, o al menos, por qué parece tan omnipresente?. Personalmente creo que esto se debe  a que las soluciones de los problemas que son “analíticas” (desarrollables en serie de Taylor) se suelen escribir según los desarrollos polinómicos de bajo grado. Para orden 1 la derivada de la solución es constante. Para orden 2, la derivada de la solución es lineal en función de la solución, y para órdenes superiores siempre encontramos dependencia según potencias superiores a 1, que para valores pequeños de la variable se pueden despreciar, de modo que la dependencia principal es la lineal. De ahí viene el hecho de que tantos fenómenos de la naturaleza puedan ser modelados según una ecuación recurrente. Pero una cosa es el modelado y otra cosa es la realidad. Aproximando por una ecuación diferencial lineal estamos abstrayendo información del problema, es algo que no podemos evitar.

 

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