Archivo para 13 junio 2011

Los radiofaros Consol (Elektra-Sonne) – (11.1) El sistema radiante. Nociones básicas

 

Dedicaré un pequeño conjunto de subsecciones dentro del tema de los radiofaros Consol para introducir algunos conceptos básicos dentro del electromagnetismo, que después usaré cuando hable de las antenas del mencionado sistema de posicionamiento. Ésta no es sino la introducción dentro de este grupo de subsecciones.

Existen muchos tipos diferentes de antenas, pero básicamente se pueden reducir a dos tipos, en concreto, antenas lineales, y antenas de apertura. Y digo sólo estos dos tipos, porque en general existen muchas antenas, como por ejemplo los mástiles radiantes de la estación Consol, que pueden ser puestos en equivalencia con antenas lineales, dado que están constituidas por tramos de acero, y la dimensión física de su grosor es mucho menor que la longitud de onda, y no ocasiona una pérdida de generalidad el considerar como antenas lineales otros tipos de radiadores de mayor longitud, siempre que estén confeccionados con elementos lineales, o inclusive agrupamientos o arrays formados por conjuntos de antenas en interacción, del que es un ejemplo la tan conocida y clásica antena Uda-Yagi, usada en recepción de televisión. De este modo, no sólo son antenas lineales los clásicos dipolos, monopolos, y monopolos sobre masa –caso éste último al que pertenecen los mástiles radiantes Consol-, sino que también son antenas lineales las espiras usadas en los radiogoniómetros, las antenas rómbicas y espirales –adaptadas éstas últimas especialmente a las polarizaciones elípticas-, las espirales cónicas, los dipolos doblados, los solenoides cargados con ferrita, usados desde los comienzos de la transmisión en onda media en receptores de radiodifusión, e incluso se pueden catalogar como antenas lineales algunas de las empleadas en banda ancha, que utilizan por ejemplo una distribución logarítmica en la distancia entre elementos, antenas multibanda con distintas longitudes de los elementos y también con distancias específicas entre ellos, antenas logoperiódicas trapezoidales, usadas como alimentadores (feeders) de antenas parabólicas grandes, y un largo etcétera, en el que podemos incluir como caso llamativo las antenas con geometría fractal, como el monopolo de Sierpinski –también pensado para banda ancha-. De este modo una antena lineal es un radiador que se puede aproximar por un conjunto de líneas construidas de un material buen conductor de la corriente eléctrica, en un punto de las cuales se suministra la corriente impresa o de excitación, y que presentan una determinada geometría que condiciona ya de por sí todas sus características de transmisión-recepción.

Por otra parte, se denominan antenas de apertura a aquellos radiadores en los cuales el campo electromagnético radiado se puede calcular como una integral extendida a una cierta superficie y obtenida en base a la distribución de campo eléctrico de excitación en dicha superficie. Casos de éstas antenas son las conocidas parabólicas, tanto si las alimentamos desde el foco de la parábola; como también en la variedad Cassegrain, en la que se usa un subreflector montado en el foco de la parábola, estando el feeder en el centro de la misma y orientado al subreflector. Otros casos de antenas de apertura son las antenas de lente, o las llamadas bocinas, que no son más que precisamente aberturas con forma de embudo que dan solución de continuidad al campo eléctrico que viaja por la guía de onda y que sale por ellas al aire. Y también se usan antenas de tipo micro-strip para frecuencias de microondas.

Es decir, existe una gran variedad de antenas, cada caso particular se emplea para ciertas utilidades concretas. En otras subsecciones explicaré lo que es el diagrama de radiación, la ganancia y directividad de una antena, el ancho de banda de la misma, el ancho de haz, la resistencia de radiación, la impedancia de entrada, y la polarización. Ante un determinado caso de diseño, se trata de determinar la geometría y dimensiones de la antena para que sus parámetros característicos se aproximen a los que se necesitan para la correspondiente situación particular de transmisión-recepción.

En cálculo de antenas, a partir de las ecuaciones de Maxwell, se puede definir una magnitud de la que deriva el campo magnético radiado, que es el potencial vector. Aplicando ciertas buenas aproximaciones se obtiene, por un lado, que el fasor de campo magnético se puede poner como el rotacional del potencial vector, mientras que el fasor del campo eléctrico, en una radiación monocromática (si se excita una única frecuencia o tono de portadora) se obtiene como la pulsación multiplicada por el potencial vector y con un factor que incluye la unidad imaginaria cambiada de signo. Esto es, si somos capaces de obtener una expresión para el potencial vector A en una cierta posición alejada de la antena, seremos capaces de conocer los fasores de campo magnético y eléctrico de la onda en ese lugar.

¿Qué es un fasor?. Un fasor es un vector complejo de una o más dimensiones, tal que multiplicándolo por una exponencial compleja de pulsación w y obteniendo la parte real de dicho producto, se consigue la función temporal o señal de una cierta magnitud eléctrica, que podría ser por ejemplo una señal de corriente, un voltaje o señal de tensión, o también la expresión instantánea del campo eléctrico o del campo magnético. Es decir, podemos pensar en un fasor para cada señal que estudiemos, el campo eléctrico instantáneo llevará un fasor asociado, el campo magnético tendrá asociado otro fasor, la corriente por ejemplo de un circuito también se puede escribir en forma fasorial, etcétera… Pero los fasores tienen la limitación de que sólo se pueden emplear para pulsaciones monocromáticas, esto es, sólo podríamos usar los fasores cuando trabajamos con una única frecuencia, que sería la portadora. El caso general de una transmisión pasobanda, más aproximada a la realidad, y que es el caso más genérico posible, precisa del empleo de otro concepto matemático más sofisticado como es la envolvente compleja, que no es otra cosa que una función compleja temporal formada por un módulo dependiente del tiempo multiplicando a un factor de fase también dependiente del tiempo. Si multiplicamos esta envolvente compleja por una exponencial compleja de pulsación w (correspondiente a la frecuencia de portadora de w/(2*pi) ), y tomamos la parte real, estaremos en realidad obteniendo la variación temporal instantánea de una determinada magnitud bajo estudio, que al igual que en el caso del uso de fasores puede ser un campo, una corriente, o una tensión, pero que en este caso particular presenta la propiedad de no ser una frecuencia pura, sino el conjunto de muchas frecuencias puras actuando a la vez, y ocupando un cierto ancho de banda. Multiplicar un fasor o una envolvente compleja por una exponencial compleja de una cierta pulsación equivale a girarlo en el plano complejo con una velocidad de giro o rotación igual a la pulsación, medida en radianes por segundo.

En general, y como remate de este primer acercamiento a las antenas y al electromagnetismo, el potencial vector que necesitamos para conocer cómo funciona una antena se halla según una expresión como la que sigue:

 

 

 

En esta expresión el vector A es el potencial vector, el valor nu es la permeabilidad magnética, el vector J es la distribución sobre la superficie de la antena del fasor de la densidad de corriente, k es la constante de propagación, y R es la distancia entre el punto concreto de la antena cuyo aporte estamos considerando y el lugar donde se quiere calcular el potencial vector. El valor dv’ es el elemento diferencial de volumen por el que fluye la densidad de corriente y V’ es todo el volumen por el que circula la corriente en la antena. Así pues, esta ecuación lo que viene a expresar, es que el potencial vector es una combinación lineal formada con coeficientes complejos que multiplican a los vectores densidad de corriente de cada posición de la antena, que equivale a la suma de los elementos de potencial vector, y que se hallan por un escalado complejo del producto de la densidad de corriente impresa y el inverso de la distancia. La exponencial compleja que forma parte de los coeficientes de escalado es un término de fase que expresa la tardanza en producirse los efectos (campos electromagnéticos) en el punto de cálculo, posteriormente en el tiempo a las causas, que fueron las corrientes impresas de la antena, y que tardaron un cierto tiempo en propagarse.

En la siguiente subsección de este hilo trataré el caso particular de la radiación del dipolo elemental y de otros tipos de dipolos más largos.

 

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Modelos matemáticos en la demografía de las especies

 

 

Coincidiendo prácticamente con los comienzos del siglo XX se vio nacer una nueva disciplina científica, la biología matemática, ciencia en la cual se ha tratado y se trata de aúnar el conocimiento propio de ambas ramas, con el objeto de establecer modelos que expliquen lo más finamente posible la realidad de la vida. Tanto los físicos como los matemáticos vieron en la biología una serie abrumadora de fenómenos que eran tratables con el lenguaje abstracto de la matemática.

Mucho antes del siglo pasado, a finales del siglo XVIII, el conocido economista Thomas Malthus, que fue posteriormente una fuente de inspiración para el biólogo Charles Darwin, estudió el crecimiento demográfico de las poblaciones y advirtió que si la naturaleza no proveía de algún sistema de control de la población, la vida en nuestro planeta sucumbiría. Precisamente fue ahí donde entró Darwin más tarde identificando a la selección natural como el mecanismo regulador que en cierto modo limita las poblaciones vivas. El razonamiento de Malthus era en cierto modo sencillo pero totalmente lógico, aunque también con limitación de miras. Dada una especie animal que se alimenta de otra especie vegetal, pongamos por caso el ratón y el trigo, se verifica que la cantidad de trigo que se puede producir en cada temporada en un cierto terreno crece aritméticamente con el paso de las generaciones, dado que la superficie de terreno es siempre la misma. Esto es, en la primera generación se producirá por ejemplo x metros cúbicos de trigo. Tras la segunda generación habrá x + x = 2x metros cúbicos de trigo, y en general tras n generaciones habrá nx metros cúbicos de trigo, todo ésto abstrayéndonos de la presencia humana, esto es, suponiendo que no hay consumo del trigo por ningún otro ser que fueran los ratones. Sin embargo la población de ratones en ese escenario hipotético no crece aritméticamente sino exponencialmente, puesto que se puede suponer, simplificando las cosas, que un individuo típico aporta en la unidad de tiempo una cierta cantidad de ratones r a la población (número que puede ser fraccionario, y que representa el valor medio de lo aportado en la unidad de tiempo per cápita), cuyo valor se identificaría con la tasa de natalidad. Ésta ecuación diferencial tiene como solución una función exponencial del tiempo, en la que participa el parámetro r. Así pues, aunque la cantidad de trigo que se poseería en una generación sería grande, la población de ratones crecería mucho más rápido, con lo cual en un principio, si aislamos del resto del planeta estas dos especies, llegaría un momento en que se agotaría el alimento y ambas especies dejarían de existir.

Ahora bien, este tipo de crecimiento demográfico exponencial, que también se conoce como malthusiano, es en realidad una aproximación grotesca de la realidad, independientemente de que el mundo no está formado sólo por dos especies vivas. En realidad existe un límite al crecimiento demográfico de una especie, que viene dado por las limitaciones de espacio o nutrientes o por la presencia de otros predadores, y ese límite es conocido como capacidad de carga o de soporte de la especie. En términos matemáticos diríamos que el crecimiento malthusiano viene dado por una ecuación diferencial de la forma y’ = k.y, esto es la tasa de cambio de la especie es proporcional a la cantidad de miembros que tiene esa especie en ese momento, y cuya solución es una función exponencial del tiempo. Pero el crecimiento real, cuyo estudio fue acometido por Pierre Francois Verhulst, se modela según otra ecuación diferencial de la forma y’ = k.y.(C-y), donde la constante C es la capacidad de carga o valor límite de la población. Esta ecuación expresa que la tasa de cambio es no sólo proporcional a la cantidad de individuos, sino que es menor también cuanto más próxima sea esa cantidad de individuos a la capacidad de carga, porque cada vez hay menos espacio o nutrientes para ellos o porque otra especie predadora los limita numéricamente. La solución de esta ecuación diferencial es la denominada ecuación o ley logística, que se rige por la expresión y = Cy0 / (y0 + (C-y0)exp(-kt)), donde el valor y0 es la cantidad de individuos en el instante inicial.

Pero, como es lógico, no tiene sentido aislar dos especies apartándolas del resto del mundo, puesto que éste presenta relaciones recíprocas entre todas las especies, sean de una naturaleza o de otra.

Ya en el siglo XX entraron en escena dos matemáticos para mejorar los estudios de Malthus y de Verlhust, y éstos fueron Vito Volterra y Alfred Lotka, aportando dos modelos que explican mucho mejor las interacciones de pares de especies predador-presa o bien predador-predador competidor. Históricamente para ejemplificar estos modelos se utilizan en el caso del modelo predador-presa a la relación entre lobos y conejos. Si las poblaciones de lobos y conejos estuviesen aisladas los lobos no podrían alimentarse de los conejos, con lo cual la población de lobos decrecería según una ecuación x’ = -l.x, que es de tipo malthusiano. Por otra parte los conejos seguirían una tasa de crecimiento también malthusiana pero de signo contrario, esto es : y’ = c.y. En estas dos ecuaciones los valores l y c son respectivamente las tasas de muerte y de natalidad de lobos y conejos.

Sin embargo, si ambas especies, lobos y conejos, coexisten en un determinado biotopo, estas ecuaciones no serán válidas, porque ambas especies interactuarán entre sí, y de este modo, podemos decir que, debido al encuentro entre predadores y presas, a la anterior tasa de crecimiento de lobos habremos de sumar un término debido al hecho de que ciertos lobos cacen ciertos conejos, y que será mayor cuanto más lobos y conejos haya, puesto que en esa situación más fácil será que se encuentren entre sí, y además el signo de este término será positivo, dado que significará que los lobos aumentan su cantidad por el hecho de encontrarse con conejos que capturan, por lo que pueden seguir viviendo y reproduciéndose. Así pues, la tasa de crecimiento de los lobos quedará x’ = -l.x + r.x.y, siendo r un parámetro de la ecuación, como también lo era l, y que en este caso representa la facilidad con que los lobos cazan los conejos y su repercusión en la mayor reproducción consecuente. De esta forma, la especie predadora de este caso, la lobuna especie, en vez de extinguirse tendrá al menos posibilidad de tener cierto crecimiento. Por otra parte, para el caso de la tasa de crecimiento de los conejos, y por el mismo motivo que el que causó el anterior término r.x.y, habrá de restarse al crecimiento malthusiano original de los conejos un término que será proporcional a la facilidad de encontrarse lobos y conejos y que tendrá signo negativo, de modo que la segunda ecuación diferencial será de la forma y’ = c.y – s.x.y. Estas dos ecuaciones diferenciales, dependientes de los parámetros l, r, c y s, son dos ecuaciones diferenciales que están acopladas, y si resolvemos este sistema obtenemos una cantidad oscilante de lobos y conejos, de manera que si representamos en el plano XY, para el eje de abscisas la cantidad de conejos y para el eje de ordenadas la cantidad de lobos aparecerán las “curvas isoparamétricas” a las que tienden la evolución de predadores y de presas, y que en este caso tienen la forma de curvas cerradas con “radios” diferentes y que tienen su punto “central” en la situación de equilibrio ideal que correspondería a la no variación ni de la cantidad de presas ni de predadores. Al variar los parámetros obtenemos distintos ciclos cerrados en dicho plano conejos-lobos, y la evolución temporal de ambas especies sigue una de esas curvas. Los parámetros para cada modelización particular habrán de ser obtenidos por métodos empírico-estadísticos, pero en general se puede decir, de modo intuitivo, que el número de predadores aumentará si disponen de gran cantidad de presas, pero al irse consumiendo éstas el número de predadores disminuirá, con lo cual aquéllas aumentarán su número, aumentando de nuevo el de predadores. La solución es, pues, cíclica, salvo que estemos en una condición de equilibrio en el ecosistema para todas las generaciones, la cual es improbable. Es decir, existen curvas isoparamétricas para cada sistema de ecuaciones diferencial, en las que yacerían las series de valores temporales, también llamadas órbitas, de todas las variables involucradas. Y esto no sólo se aplica a las ecuaciones de Lotka-Volterra de predador-presa sino a cualquier modelo no lineal en el que intervengan ecuaciones diferenciales no lineales. Un ejemplo de esto es el modelo climático de Lorentz, desarrollado en el siglo XX. Para elaborar este modelo, Lorentz estableció, en su forma o versión simplificada, las tres ecuaciones diferenciales que fijan la tasa de cambio de cada de las tres variables de posición de una molécula en un fluido (por ejemplo una molécula de de agua en la atmósfera). Y se ayudó de algunos parámetros. La solución del sistema diferencial de tres ecuaciones de Lorentz da lugar a una órbita que tiende a un atractor, que se denomina “el atractor extraño de Lorentz” y que tiene forma de ochos acostados enlazados cada uno con el siguiente.

Pero Lotka y Volterra desarrollaron además otro par de ecuaciones diferenciales que dan lugar al modelo de competencia entre especies de un mismo biotopo. Este modelo se aplica a dos especies que compiten por un recurso o presa común, y en las que aparece crecimiento logístico, y ese crecimiento ha de ser forzosamente logístico porque los recursos por los que compiten ambas especies son limitados. Las ecuaciones diferenciales son gemelas para cada uno de los competidores y tienen la forma : x’ = k.x.((C-x-r.y)/C), siendo k la constante de crecimiento malthusiano, C la capacidad de carga para la expecie x y r un factor que establece la interacción con la especie competidora. Habría una ecuación diferencial análoga para la otra especie, con parámetros análogos pero con otro nombre, y de la resolución de ambas ecuaciones obtendríamos unas órbitas en el plano XY sobre las que yacerían las series temporales de ambas especies.

Todo lo que aquí se ha descrito para dos especies puede ser ampliado para un número mayor de especies y así se construirían modelos aplicables a ecosistemas simplificados con un número limitado de especies que darían lugar, en el espacio de tantas dimensiones como distintos tipos de seres interactuando, a distintas órbitas donde se situaría la evolución en el espacio de fase de las series temporales de todas las especies.

En cuanto a la resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales que modelan a la naturaleza, existen básicamente dos formas de acometerla de acuerdo con las herramientas de que nos provee la matemática. Una de ellas es la disciplina de resolución de ecuaciones diferenciales y la otra es el análisis numérico. La primera de las dos emplea métodos concretos de cálculo para transformar cada ecuación y/o para resolverlas analíticamente. La segunda herramienta son los métodos numéricos basados en diferencias finitas o en diferencias divididas y que aproximan las derivadas por diferencias escaladas entre valores próximos de cada variable, y mediante el cálculo por computadora se obtienen directamente las series temporales. Ejemplos de este tipo de cálculo serían los métodos de Runge-Kutta y de Euler.

En la imagen superior se representan las curvas isoparamétricas de la solución del modelo predador-presa y en la imagen inferior se representa el atractor extraño de Lorentz.

 

 

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