Georg Cantor, los cardinales transfinitos y la hipótesis del continuo

 

 

El matemático alemán Georg Cantor, nacido en San Petersburgo en 1845, y fallecido en Halle en 1918, fue el artífice de la moderna concepción matemática de infinito, así como el creador junto con Dedekind y Fregue de la teoría de conjuntos, que se erige como el esqueleto en el que se apoyan las actuales teorías del análisis matemático. Sus trabajos sobre el infinito no fueron muy populares en la época en la que vivió, en parte quizás porque Cantor tuvo la desgracia de padecer el trastorno bipolar, también conocido como trastorno maníaco-depresivo, que lo forzó a tener que recluirse en el sanatorio universitario de Halle en numerosas ocasiones, sobre todo a comienzos del siglo XX, y este factor contribuyó a que muchos matemáticos como Leopold Kronecker o Karl Weirstrass –que paradójicamente fueron sus profesores cuando él era estudiante universitario- desdeñaran los trabajos de Cantor por considerarlos como un producto de su patología; pero hubo alguien que por su peso acreditado en las matemáticas de aquella época, que a la sazón formaba junto con David Hilbert la luminaria en la creatividad lógica del momento, más concretamente el matemático francés Henri Poincaré, salió en la defensa de los trabajos de Cantor, argumentando que no importaba si Cantor estaba lidiando con una enfermedad, sus trabajos eran de primera línea y además de una sutil belleza. Eso bastaba para tomarlo en serio. Y fue éso lo que en parte ayudó a poner a cada uno en su sitio, en una situación en la que curiosamente Georg Cantor no tenía sus preocupaciones centradas ni en las controversias de las que estaba siendo involuntariamente el causante, ni tampoco en las paradojas que surgían de sus trabajos, que les causaban gran molestia a otros matemáticos. En una ocasión se le preguntó al filósofo, premio Nóbel de literatura, y matemático, Bertrand Russell, quién consideraba la persona más influyente de la historia en Francia, y éste contestó que esa persona era Poincaré, ante lo cual su interlocutor se quedó sumamente extrañado, al ver que no figuraban en su contestación ni el escritor Honoré de Balzac, ni por ejemplo Napoleón, y sin embargo sí un ministro de entonces con dicho apellido, a lo que Russell contestó que a quien se refería no era al ministro Poincaré, sino a su primo Henri. Esto da una idea de hasta qué punto era influyente el mencionado matemático francés, por estar junto con Hilbert en la élite generalista de las matemáticas de principios de siglo, por sus contribuciones al análisis, a la naciente topología o geometría doblada, por sus estudios sobre el problema de los tres cuerpos –de los que accidentalmente ha surgido la moderna teoría del caos- y por muchas otras contribuciones firmadas con su nombre, entre las que podríamos poner de relieve el estudio del grupo de transformaciones de Lorentz, que por muy poco no lo convierten en codescubridor de la teoría de relatividad especial, por adelantársele Albert Einstein en su año milagroso de 1905. Por este motivo, a Cantor comenzó a tomársele en serio, y fue por ello que precisamente el primero de los problemas a resolver planteado por Hilbert en su famosa conferencia pronunciada durante el Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en la Sorbona (París) en 1900, fuese concretamente el problema de la hipótesis del continuo, no resuelto en su totalidad hasta el año 1963.

 

 

Para contextualizar la hipótesis del continuo, problema al que Cantor no encontró por aquel entonces solución, a pesar de intentarlo con todo su empeño, se debe hablar primero de los cardinales transfinitos y del concepto de infinito en acto, tal y como quedó registrado con las contribuciones del matemático alemán.

Pero antes de esto, debemos remontarnos a la Grecia clásica para ver lo escurridizo que ha sido siempre el concepto de infinitud, que no logró ser domado hasta los trabajos de Cantor. En aquellos tiempos de la Antigüedad surgió una controversia en torno a las concepciones de infinito en potencia e infinito en acto, que se mantuvo a lo largo de toda la historia hasta Cantor. El infinito en potencia consiste en considerar que efectivamente, por ejemplo, después de cada número natural existe otro número posterior, independientemente de que consideremos al primero de ellos todo lo grande que queramos. Así pues, potencialmente los números naturales no se acaban nunca, y cobra forma el hecho de que podemos pensar que el infinito existe, aunque escape a nuestra limitada forma de pensar basada en la observación de cosas u objetos finitos, y no podamos aprehenderlo. Pero hay otra forma de ver el infinito, y es la de considerarlo en acto, no como algo sólo posible, sino como algo con existencia real, hablándose entonces de infinito actual. Aristóteles consideraba que el infinito actual no era concebible, y que si debíamos pensar en el infinito era teniéndolo en cuenta como algo sólo en potencia. Precisamente, algunos pensadores contemporáneos de Aristóteles, uno de los cuales fue Zenón, basándose en lo engañosa que puede resultar la comprensión de un número indefinidamente grande se dieron cuenta de la gran cantidad de aporías, o contradicciones lógicas, que surgían si solamente se consideraba el infinito como algo en potencia y no en acto, de las cuales tal vez las más conocidas sean la famosa aporía de Aquiles y la Tortuga, o la aporía del espacio a recorrer de longitud unidad y de su cubrición con la serie geométrica de suma de distancias avanzadas, con un término general de razón ½. Por otra parte, la continuidad de esta incertidumbre en lo que a los conceptos se refiere, se mantuvo a lo largo de la historia y fue determinante en los primeros intentos de formular el cálculo; así ya los trabajos de los indivisibles de Cavalieri carecían de una total consistencia conceptual precisamente por lo escurridizo del infinito; y aún más, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz descubrieron el cálculo de manera independiente, eran probablemente conscientes de manera plena de que la nueva forma de calcular, que tan fecunda ha sido para el desarrollo científico, no poseía el grado de rigor que todo buen matemático desea para sus creaciones, dado que era preciso recurrir a los elementos infinitesimales, a lo infinitamente pequeño y distinto de cero, que en realidad lleva implícita la creencia en el infinito en acto.

Así pues, ¿posee existencia real el infinito en acto, aunque lo observado por los humanos, los medios de medida, y nuestra forma de pensar, estén basados en lo finito?.

La respuesta a esta pregunta es afirmativa, y fue Cantor quien comprendió por primera vez en toda su perspectiva el infinito. Para esto, Cantor partió en primer lugar del conjunto de los números naturales. Como dado cualquier número natural, existe otro más grande, el conjunto de los números naturales es infinito, es decir, no se acaba nunca. Para estudiar el tamaño de un conjunto, fuese finito o infinito, Cantor definió los conceptos de numerabilidad (un conjunto es numerable si sus elementos se pueden poner en correspondencia uno a uno mediante una biyección con el conjunto de los números naturales) y cardinalidad (el cardinal de un conjunto es el número de sus elementos si el conjunto es finito, y si dos conjuntos son infinitos se puede decir que tienen la misma cardinalidad si podemos establecer una biyección entre sus elementos, esto es, una correspondencia biunívoca entre ambos, que es equivalente a decir que tienen el mismo tamaño). A partir de estos dos conceptos básicos se llega a la conclusión de que un conjunto es finito si no existe una biyección entre dicho conjunto y alguna de sus partes, y es infinito –tiene cardinalidad transfinita- si dicha biyección existe. Así, por ejemplo, podemos relacionar el 1 con el 10, el 2 con el 20, el 3 con el 30, y así sucesivamente, y vemos que los números naturales son infinitos y son biyectivos con uno de sus subconjuntos (el conjunto formado por las sucesivas decenas). Por otra parte, también podemos decir que el conjunto de los números enteros es numerable, dado que podemos poner en correspondencia el 1 con el 1, el 2 con el -1, el 3 con el 2, el 4 con el -2, el 5 con el 3, y así sucesivamente. Dado que el conjunto de los números racionales (las fracciones) también es infinito, y dado que entre dos números enteros existen infinitas fracciones, podría parecer que existen muchas más fracciones que enteros y que dichos conjuntos tienen distinta cardinalidad. Sin embargo, Cantor advirtió que esto no era así. Para ello, construyó una retícula discreta de puntos en dos dimensiones, de tal forma que la primera fila de puntos se corresponde con los números naturales, la segunda fila con las mitades (números con 2 en el denominador), la tercera fila con los tercios (números con 3 en el denominador), la cuarta con los cuartos (números con 4 en el denominador), y así sucesivamente, aumentando el numerador en cada fila de izquierda a derecha. En esta retícula infinita se encuentran todos los números racionales, y así por ejemplo la fracción 5/6 se halla en la sexta fila, quinta columna; y otro tanto para cualquiera otra fracción que nos imaginemos. Ahora, supongamos que siguiendo una serie de trayectorias diagonales en zig-zag recorremos esta retícula y estiramos dichas trayectorias según una alineación recta, quedando todos los números racionales colocados en esa fila resultado del desdoblamiento de todas esas trayectorias oblicuas. Entonces, es claro que podemos numerar cada una de las fracciones con un número natural, ya que a cada uno de esos puntos alineados podemos colocarle al lado un natural. Por lo tanto, aunque de entrada parecía todo lo contrario, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números racionales, que tienen ambos cardinalidad transfinita, son recíprocamente biyectivos (sus elementos están en relación uno a uno), y poseen la misma cardinalidad. Cantor denotó este número cardinal como aleph sub-cero (no incluyo aquí el símbolo, pero la letra aleph es la primera en el alfabeto hebreo, y es parecida a una x mayúscula). Pero Cantor no se detuvo aquí, ni muchísimo menos, sino que pasó a considerar el conjunto infinito de los números reales con infinitos decimales, y lo que primero se preguntó es si este conjunto posee el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales (equivalentemente, que el conjunto de los racionales). Y para demostrar que ambos cardinales transfinitos son diferentes, siendo mayor el de los números con infinitos decimales, utilizó un interesante e ingenioso argumento, que desde entonces se ha llamado diagonalización de Cantor, y que también usó Alan M. Turing en su trabajo sobre los números computables y el problema de la decisión. En esencia el argumento consiste en lo siguiente: supongamos que tenemos una lista (infinita) con todos los números con infinitos decimales posibles, de tal forma que a la izquierda de cada número colocamos un número natural para indicar el puesto que ocupa el número decimal en la lista, esto es, suponiendo implícitamente que el conjunto de número decimales y el conjunto de números naturales poseen la misma cardinalidad. Hagamos ahora lo siguiente: al primer decimal del primer número de la lista lo cambiamos por otra cifra distinta, al segundo decimal del segundo número de la lista lo cambiamos también por otra cifra distinto, y repitamos este proceder para todos los números que hay en la lista (¡nunca jamás terminaríamos de hacer tal cosa, pero ello no significa que no podamos imaginarlo!). Si reflexionamos un rato, fácilmente nos daremos cuenta que el número decimal así construido con los sucesivos nuevos decimales que hemos usado, no está en la lista inicial de tamaño infinito numerable propuesta, por lo que se colige que necesariamente existen más números reales que naturales o racionales, y así hemos llegado a la conclusión de que existe otro número cardinal transfinito, que Cantor denotó por aleph sub-uno, y que se corresponde con la cardinalidad del conjunto de los números reales, que es estrictamente mayor que aleph sub-cero, o cardinal de los naturales. Y dado que no es difícil establecer una biyección entre un intervalo cualquiera de la recta real con el conjunto de los números reales, también se puede ver que la cardinalidad de cualquier intervalo es igual a la del conjunto del que forma parte de los números reales, e igual por tanto a aleph sub-uno (tienen el mismo tamaño). Parece algo extraño, desde luego, pero es verdadero, y Cantor tuvo que asombrarse bastante con sus novedosos razonamientos. Y aún más, si consideramos cualquier intervalo N-dimensional, formado por el producto cartesiano de N intervales 1-dimensionales, también es fácil ver, asombrosamente y en contra de lo que en principio dictaría la intuición, que es biyectivo con un intervalo 1-dimensional, y por tanto de cardinalidad transfinita igual a aleph sub-uno. Entonces tenemos de momento dos grados de infinito, el de los números naturales, y el mayor de los números reales, que implica que en la recta real existen más números irracionales que racionales (son en realidad muchos más) ya que ya se vio que los números fraccionarios son numerables, mientras que el conjunto de los reales, formado por los fraccionarios y los irracionales, no lo son. La pregunta que se formuló entonces Georg Cantor es si existen otros cardinales transfinitos o grados de infinitud mayores que los dos hallados. Y para contestar a esta pregunta, Cantor consideró, dado un conjunto cualquiera, el conjunto formado por todas las partes posibles de ese conjunto de partida, teniendo en cuenta las partes triviales igual al conjunto vacío y al conjunto total. Para un conjunto discreto, el cardinal o número de elementos del conjunto formado por las partes del de partida es igual, como fácilmente se comprueba, a 2 elevado al cardinal de dicho conjunto de partida. Así pues, el cardinal del conjunto de partes de un conjunto es estrictamente mayor al cardinal de dicho conjunto. Si ahora hacemos que el conjunto original tenga cardinalidad transfinita, hemos encontrado una manera práctica de hallar un conjunto transfinito de mayor tamaño, que es el conjunto formado por las partes del inicial. Por lo tanto, tenemos una sucesión infinita de cardinales transfinitos, que empieza con aleph sub-cero, seguido del cardinal del conjunto formado por las partes del conjunto de cardinal aleph sub-cero, que tiene cardinalidad aleph sub-uno, al que sigue el cardinal del conjunto formado por las partes del conjunto formado por las partes del conjunto de cardinalidad aleph sub-cero, que tiene cardinalidad aleph sub-dos, y así sucesivamente.

Pero entonces a Cantor se le planteó una duda “existencial”, que formalmente pasaría a ser conocida como hipótesis del continuo, y que lo tuvo infructuosamente ocupado el resto de su vida. Y esa duda consiste en saber si existe algún conjunto infinito cuyo cardinal sea estrictamente mayor que el cardinal de los números naturales aleph sub-cero y a la vez estrictamente menor que el cardinal mayor de los números reales con infinitos decimales aleph sub-uno. La hipótesis del continuo afirma que tal conjunto no existe, y requería de la búsqueda de un contraejemplo o de su demostración directa, para poder así afirmar su falsedad o veracidad respectivamente. Este problema fue enunciado por David Hilbert en su famosa conferencia de 1900 como uno de los problemas matemáticos abiertos a la espera de solución para las matemáticas modernas. Era el primero de su famosa lista de 23 problemas de gran dificultad que han tenido bien ocupadas a algunas de las mayores mentes matemáticas del siglo XX; y un puñado de los cuales aún no se han resuelto (la hipótesis de Riemann entre ellos, el santo Grial de la teoría de números; o la axiomatización de la física, tampoco aún no conclusa), habiéndose resuelto no obstante una gran cantidad de ellos (como por ejemplo el problema de la existencia de un procedimiento general para saber si una ecuación diofántica tiene soluciones enteras o no, resuelto en dos fases: primera mediante el enunciado de la hipótesis de Julia Robinson y sus colaboradores, y segunda mediante los trabajos del matemático ruso Yuri Matiyasévich; o el problema de la conjetura de Poincaré, la cual ya es un teorema desde la intervención del “medallista” Fields Grigori Perelman).

 

 

Y para resolver el primer problema de Hilbert, que tan absorto mantuvo sin éxito a Georg Cantor, hizo falta la intervención de dos astros de las matemáticas modernas; el primero de ellos, más conocido por su teorema de la incompletitud, el austríaco Kurt Gödel, quien en 1939 complementó el sistema axiomático de la teoría de conjuntos formado por los axiomas de Zermelo-Fraenkel, y el axioma de la elección, con la hipótesis del continuo como axioma independiente, para llegar a un sistema axiomático consistente; el segundo de ellos, el matemático norteamericano Paul J. Cohen, de ascendencia judía, que en 1963, complementó también el sistema axiomático Zermelo-Fraenkel, más axioma de elección, más negado de la hipótesis del continuo, para llegar también a un sistema consistente desde el punto de vista lógico. En consecuencia el problema de la hipótesis del continuo es indecidible. Es decir, se han construido dos mundos matemáticos diferentes, en uno de ellos existe un conjunto de cardinal transfinito comprendido entre aleph sub-cero y aleph sub-uno, y en el otro mundo no existe tal conjunto; y se dice entonces que el resultado depende de la hipótesis del continuo, que es un axioma independiente de la teoría de conjuntos que ha de considerarse o bien directamente o bien de forma negada como un axioma más, (algo al estilo del 5º postulado de Euclides de las paralelas y a su implicación en la existencia de geometrías no euclídeas perfectamente consistentes).

Y éste es el final de la historia, fue precisa primero la originalidad de Georg Cantor para desentrañar el tan escurridizo misterio del infinito en acto, y la tenacidad y el ingenio de Gödel y de Cohen para completar la panorámica en su totalidad. Una buena muestra de que las matemáticas son un terreno eternamente cambiante y perfeccionista, que no admite huecos vacíos en sus argumentaciones, tárdese lo que se tarde en cubrirlos. Hay un millón de dólares y una entrada para el Monte Olimpo de la Ciencia, esperando a quien resuelva el problema de la hipótesis Riemann, uno de los problemas de Hilbert aún abiertos. La distribución de los números primos es de enorme importancia, tanto teórica como prácticamente, no sólo por la motivación de saber por saber, sino además por sus implicaciones en la criptografía RSA, con la que se protegen nuestros números de tarjetas de débito/crédito en las transacciones comerciales por Internet. El matemático Bernhard Riemann dedujo una ecuación que relaciona la función compleja meromorfa zeta (conocida como función zeta de Riemann) con la cantidad de números primos menores que un número natural dado. Así pues, existe una conexión entre la función zeta de Riemann y la teoría de números, y un conocimiento del emplazamiento de los ceros y polos de zeta en el plano complejo arrojaría luz sobre la distribución de los números primos. La hipótesis de Riemann establece que todos los ceros no triviales de dicha función tienen parte real igual a 1/2. Por métodos computacionales no se han encontrado todavía contraejemplos a esta conjetura. Pero ésto no basta, puesto que se trata de saber con certeza si este comportamiento se produce para absolutamente todos los ceros no triviales, que son infinitos. La demostración o refutación de la hipótesis de Riemann es tal vez el problema matemático abierto en la actualidad de mayor relevancia. Personalmente no me gustaría morir viendo que ese problema se mantiene sin solución. Me gustaría que en alguno de los próximos años venideros de esta época en la que nos ha tocado vivir, en la que el Dios Dinero es el que marca los tiempos, los trabajos, el funcionamiento de la sociedad, y las preocupaciones diarias, con una crisis económica que se extiende como una telaraña por las naciones; y con asignación de escasos fondos para la investigación; hiciese acto de presencia de repente una persona de naturaleza extraordinaria, que al puro y clásico estilo romántico de esta ciencia democrática que es la matemática, resolviese este problema y nos sorprendiera a todos. Quién sabe. A lo mejor ese iluminado ya ha nacido y se halla ahora ocupado en sus cotidianos quehaceres, ajeno a la que será la contribución de su vida y del siglo a las matemáticas.

Las imágenes presentadas en esta entrada se corresponden, por este orden, con las fotografías de Georg Cantor, Kurt Gödel y Paul Cohen.

 

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  1. 3/04/15
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